there are different explanations depending on where the name is found and the families lived.
Archivar Dr.K.A.Lindner wrote to Georg Laage in 1926:

Karlsbad, den 14. Juni 1926
Sehr geehrter Herr !
Your name seems to point
back to the location where your ancestors lived. Laage, Lage, Lake etc.
old swedish laki. It all means the same, a small lake. A small standing
water, not deep, in the flat country site has to be imagined. Without doubt
your family comes from the north. Maybe some traditions already gave you
hints into that direction.
- snip -
Hochachtungsvoll
Dr.K.A.Lindner
A newspaper article,, around 1930, seems to be quite competent too:
L a g e und L a a g e
Wenn es sich um eine
ursprünglich schleswig-holsteinische Familie handelt, ist der Name
vom christlichen Taufnamen Laurentius, einem der berühmtesten römische
Märthyrer, abgeleitet. Der Name entstammt dem lateinischen und bedeutet
"der Lorbeerbekränzte".
Er ist hier im Norden
ganz besonders verehrt worden, wie man aus der großen Zahl von Kirchen
schließen kann, die ihm geweiht waren. Wie in Süddeutschland
der heilige Florian, so war auch bei uns der heilige Laurentius Nothelfer
gegen Feuersbrunst. Ueberaus häufig ist hier auch sein Name für
Ruf- und Familiennamen verwendet worden. So wurde aus Laurentius
unter Wegfall der letzten Silbe und Einschiebung eines "e" Laue gebildet.
Da im niederdeutschen Sprachgebrauch "au" oft in "ag" übergeht, wie
blau in blag, Grau in Grage usw, so hat sich aus Laue auch Lage entwickelt.
Ein Pastor zu Aller hieß Lave Jensen, sein Nachfolger (vermutlich
sein Sohn) Dampo Lauesen, dessen Sohn Lage Domponis.
- Stammt die
Familie aus Westdeutschland, so ist Herkunftsname von einem der zahlreichen
Orte Lage ( = von Holz entblößte, freie, offene Fläche)
anzunehmen. (Lage in diesem Sinne ist in Schleswig-Holstein ein unbekanntes
Wort.) Bei mecklenburgerrgischen Familien ist auch Herkunft von der Stadt Laage
(vom slawischen lawa = "Brücke, Steg über Sumpf") möglich.
1216 first mentioning of "Lauena", later "Lawe" or "Lawis" (place of a bridge).
...
1270 ... there was a "Vogtei" Lawe existing up to the 15th century
...
1622 Specification of the spelling "Lage"
...
1726 Specification of the spelling "Laage".
Georg Laage in 1925 had written to the town Laage whether there is a relation between the
Laage family and the town. He got this answering card saying that nothing is known about it and
accourding to the rocords nobody with the name Laage ever lived there:
Original format 9 x 14 cm